研究業績の説明

数学的研究分野にとどまらず、様々な分野の研究者と交流を深め、既存の手法を超える新たな展開を目指すことは、科学技術立国でありたい日本の最優先課題と私は考えている。アメリカが超大国として世界第一位の経済力を誇り、中国が日本のGDP を追い抜き世界第二位の経済大国の座を勝ち取ったのも、科学技術を担う大学教育に相当なエネルギーと国力を注ぎ、広く異分野間の交流を活発化させているからに他ならないであろう。私はこのように考え、back ground の違うさまざまな研究者たちとの共同研究を進めた。主な方々はArizona 州立大のA. Mahalov 教授、成均館大学（韓国）のD. Chae 教授、Minnesota 大IMA のポスドク研究員P. Konieczny 氏、C-H. Chan氏、Victoria 大（カナダ）のS. Ibrahim 助教、日本では茨城大のE. Nakai 教授、京都大のY.Sawano 助教である。また今後、共同研究を進める予定のある主な方々はTexas 工科大のL.Hoang 助教, Notre Dame 大のG. Misiolek 準教授, 東京大のN. Saito準教授と明治大ポスドクのH. Notsu の研究グループである。 彼らとの議論によって「いかにしてアイデアを簡潔な言葉で表すか。back ground が異なる研究者との共同研究をスムーズに行うにはどのようにすればいいか」などを学んだ。これからは、これらの貴重な経験を生かして、異なる分野の研究者に対する交流や共同研究も活発に進めたい。

Clay 財団は2000年に、21 世紀に解かれるべき数学の未解決問題を７つ挙げた。そのうちのひとつが3次元Navier-Stokes方程式の滑らかな時間大域解の一意存在、または解の爆発を導くことである。一方、天気予報などの現実的な需要によって、地球上の大気や海洋の大規模な流れのモデル方程式に対する沢山の数値実験がなされてきている。しかしそれらのモデル方程式はNavier-Stokes方程式より複雑であり、数理的理解は依然として困難を抱えている。私は上述の２つの問題を念頭に置きながら研究を進めていて、研究業績は大まかに以下の3つのカテゴリーに分類できる。

1．地球流体力学における基礎方程式の安定性（大域可解性）

2．3次元Navier-Stokes方程式の非適切性

3．実解析的研究などのNavier-Stokes方程式への応用

なお、1と2は藤田-加藤の原理によるmild solutionをフーリエ変換（或いはフーリエ級数展開）したものに対する周波数解析を出発点としている。その点では同じ範疇の研究テーマと言える。3に関しては、実解析を専門とする者や分野の多少違う研究者との共同研究が主である。お互いのアイデアを分かりやすく交換し合うことが、そこでは鍵となる。では1〜3で得られた研究結果をそれぞれ以下に述べることとする。なお、私が修士在学中に見つけた或る特殊関数に関する研究[1,2,4,8]や、流体方程式と直接関係ない実解析的研究[3,5]の説明はここでは省略する。

1．コリオリ力と密度成層付きNavier-Stokes方程式は、地球流体力学における基礎方程式の中で最も数理的理解が進んでいるものの一つであろう。コリオリ力とは地球の自転によって引き起こされる力のことをいう。密度成層は簡単に言って「大気は暖まると上空へと上昇し、冷却されると地面へと下降する」という物理効果を表したものである。地球上の大気や海洋の様々な気象現象の発生原理を追求する際には、これらの力を無視できない場合が多い。例えば北半球ではほとんどの台風は北緯5度以北で発生していて、この事実は台風の発生にコリオリ力が重要な役割を果たしていることを示唆している。そのコリオリ力の安定化効果に関する純粋数学的な研究としてはBabin-Mahalov-Nicolaenko（以下BMNと略記）が1997年に、速度場が周期的な場合のコリオリ力の安定化効果を示した。一方、空間無限で減衰している速度場の場合は2006年にChemin-Desjardins-Gallagher-Grenier（以下CDGGと略記）がそのコリオリ力の安定化効果を示した。しかしそれらは周期性や減衰性を本質的に使っていて「どんな状況でもコリオリ力は速度場を安定化させる効果があるのか？」という疑問がわくのを否めない。例えば「空間無限遠で減衰しない速度場でもコリオリ力は安定化効果を持つのか」や「境界条件を持つ場合ではどうか」「密度成層も安定化効果を持つのか」「定常流でもそういう安定化効果はあるのか」といった問題に対しては、まだまだ未解決な部分が多い。そこで私は前述のBMNとCDGGの重要な研究結果や上述の疑問をもとにして、以下の4つの結果を示した。

i.大きな外力におけるコリオリ力付き定常Navier-Stokes方程式の安定性（Koniecznyとの共同研究、研究業績リストの論文[14]参照）

ii.初期値が減衰し、密度成層の効果も考慮に入れたコリオリ力付き非定常Navier-Stokes方程式の大域解の存在（Koba-Mahalovとの共同研究、研究業績リストの論文[17]参照）

iii.初期値が概周期関数の場合のコリオリ力付き非定常Navier-Stokes方程式の長時間可解性（単独研究、研究業績リストの論文[12]参照）

iv.初期値が概周期関数の場合の、密度成層付き非定常Navier-Stokes方程式の長時間可解性（Ibrahimとの共同研究、[19]参照）

ii、iiiでは、形式的にコリオリパラメータを無限に飛ばした際に得られる方程式（以下limit equationという）の大域解の存在を示すのがカギとなる。limit equationは２次元Navier-Stokes方程式を含む3ベクトル3変数の方程式となる事が知られている。そこでGiga-Mahalovそして私（研究業績リストの論文[11]参照）は、周期関数に比較的近い構造をもつ概周期関数が初期値の場合の２次元Navier-Stokes方程式の大域解の存在を示した。ivでは初期値が概周期関数で密度成層の効果のみを有するNavier-Stokes方程式の長時間可解性（密度成層自体の安定化効果）があることを示した。密度成層の安定化効果は1996年にKimura-Herringが数値解析的アプローチによってそれを示唆している。ivの研究はその示唆の数理解析的理解を目指すものと言えよう。ここでもコリオリ力の場合と同様、形式的に密度成層のパラメータを無限に飛ばした際に得られる方程式（コリオリ力の場合と違ってここではQuasi-Geostrophic方程式というものになる）の大域解の存在を示すのがカギとなるので、それを証明した。

2．1964年にFujita-Katoが半群理論を使って、指数が1/2の斉次ソボレフ空間上での3次元Navier-Stokes方程式の局所適切性を示した。その先駆的な研究結果以降、局所適切性どのくらい広い関数空間まで言えるのか、という研究が盛んに行われてきた。そういう状況のもとKoch-Tataruが 2001年にBMO^{-1}という関数空間で局所適切であることを示した。BMO^{-1}とは大雑把にいってBMO関数空間を-1階微分したような関数空間で、今まで扱かわれてきた関数空間の中で最大であった。一方で2008年にBourgain-PavlovicがそのBMO^{-1}よりも広い或るBesov空間での3次元Navier-Stokes方程式の非適切性を示した。非適切性とはアダマールの意味での適切性の条件を一つでも満たさない場合をいう。特に彼らは初期値に対する連続依存性がその関数空間では成り立たないということを示した。しかしながら、そのBMO^{-1}とBourgain-Pavlovicが扱ったBesov空間の間に存在する数空間での適切性はどうなのか、という問題が未解決であった。そこで私（研究業績リストの論文[9]参照）はそのBMO^{-1}という関数空間に限りなく近いところでも3次元Navier-Stokes方程式は非適切だという事を示した。私はBourgain-Pavlovicが沢山の初期値をその非適切性を導く為の候補として取りすぎている事に着目し、それらの初期値の中からより鋭く「初期値に対する連続依存性」を破壊する初期値を取捨選択し、それによって非適切性を導く関数空間を狭めることに成功した。またEuler方程式に対する初期値に対する連続依存性の研究もおこなった。Tashiro-Taniuchiと私（研究業績リストの論文[10]参照）は初期値に対する連続依存性が、非有界な渦度を含む或る関数空間でも成り立つことを示した。

3．実解析的手法が偏微分方程式の解析に極めて重要であるのは異論の余地がないと思われる。特に特異積分作用素論やBesov空間などの関数空間論、BMOやHardy空間に代表される双対の理論などが偏微分方程式に与えている影響は計り知れない。そのBMOの概念と近年CaffarelliやVasseurらによって発展させられているDe-giorgi methodといわれる手法を駆使して、Chanと私（研究業績リストの論文[15]参照）は「各時刻を止める度に得られる流線」に対する3次元Navier-Stokes方程式のregularity criterionを構成した。この結果はスケール不変性を本質的に必要としない。Navier-Stokes方程式の今までの主要結果のほとんどがスケール不変性を使っているので、その点で本結果は新しい（スケール不変性に関連する主要結果として例えばCaffarelli-Kohn-Nirenberg 1982, Beale-Kato-Majda 1984, Escauriaza-Seregin-Sverak 2003などを参照）。また、そのDe-giorgi methodを定常Navier-Stokes方程式のLiouville theoremにも応用できることをChae（研究業績リストの論文[16]参照）との共同研究で発見し、それを論文として現在投稿中である。

BMO空間とHardy空間における双対関係をNavier-Stokes方程式に応用したものとして、Kato（加藤淳）の結果があげられる。彼は2003年に「もし解が減衰しない有界関数で圧力がBMOという関数空間に入っているなら、その解は一意である」という定理を示した。なおBMOとはlog関数のようにゆっくりと無限遠に向かって増大する関数を含む関数空間である。そこでNakaiと私（研究業績リストの論文[13]参照）は圧力がBMOよりも広い関数空間、すなわち一般化Campanato空間といわれる関数空間に入っていると仮定しても一意性が成り立つ事を示した。ここで扱った一般化Campanato空間は、無限遠に向かって一次増大より少し増大度が低い関数を含む関数空間である。尚、もし圧力が完全に一次増大しているなら、Navier-Stokes方程式の一意性が成り立たないことが知られている（Giga-Inui-Matsui, 2001参照）。よって我々は圧力に対し、よりcriticalな関数空間を発見したとも言えよう。

Beale-Kato-Majdaによって最初に示された解の延長可能性に関してKozono−Taniuchiは2000年にBMOノルムの評価へと拡張している。それをNakaiと私（研究業績リストの論文[18]参照）はdyadic-BMOといわれるより広い関数空間へと拡張した。

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